Aus Günter Dinglingers Werkstatt

Zusammenfassung:

Es wird im Folgenden gezeigt, dass BOHR mit seiner Darstellung des Atomaufbaus sich keineswegs geirrt hat. Wird nämlich berücksichtigt, dass  der Atomkern genauso wie die Elektronen um einen gemeinsamen Schwerpunkt rotiert und ausserdem der Drehimpuls nicht ein ganzzahliges Vielfaches von h ist, sondern von Z0,5*n*h ist, dann lassen sich die Energieniveaus vom Wasserstoffatom ebenso berechnen wie für das Heliumatom.

Das Atommodell von Bohr trifft zwar für das einfachste Atom (H) zu, versagt aber bereits beim Helium (He)[i]. Bohr geht von dem Prinzip aus, welches die Welt prägt, nämlich dem Rotationsprinzip. Massen neutralisieren die auf sie einwirkenden Anziehungskräfte, indem sie um ihren gemeinsamen Schwerpunkt rotieren und somit diesen Kräften eine Fliehkraft entgegensetzen.

Wird den Atomen keine Energie zugeführt, emittieren sie auch keine Energie. Sie sind damit quasi im Ruhezustand. Erst wenn z. B. dem Rotationssystem des Wasserstoffatoms (1 Proton und ein Elektron) Energie zugeführt wird, emittiert es Energie in ganz bestimmten Quanten (h), wobei die Massen von ihrer ursprünglichen Umlaufbahn zunächst zu einer weiter außerhalb liegenden Bahn angehoben werden, um dann, bei einer bestimmten Sättigung, wieder in die ursprüngliche Umlaufbahn zurück zu springen, wobei das oben erwähnte Energiequant an die Umgebung emittiert wird.

Allerdings hat Bohr noch angenommen, daß das Proton im Zentrum des Systems steht, während nur das Elektron das ruhende Proton umrundet. Dabei hat Bohr insofern nicht unrecht, als das Proton eine erheblich größere Masse als das Elektron besitzt und seine Auslenkung weg vom Zentrum des Rotationssystems nur geringfügig ist. Für die Berechnung ist dieser Fehler unerheblich, aber das Prinzip soll hier nicht unerwähnt bleiben, denn eine ganze Reihe von Physikern geht davon aus, daß das Bohrsche Modell falsch sein muß, weil danach z. B. (Wasserstoff)Atome kollabieren müßten[ii].

Zur Bohrschen Berechnung folgende Anmerkung:

Setzt man[iii]:                           e  = 1,60217653*10^-19  [C]

                                             h  = 6,6260693*10^-34  [Js]

                                           m_E  = 9,1093826*10^-31  [kg]

                                           m_P  = 1,67262171*10^-27  [kg]

                                            ε₀  = 8,854187817*10^-12  [F/m]

dann erhält man nach Bohr für das H-Atom (Z = 1):

       J  = m_E * r_E² [kg m²]        (Trägheitsmoment)                                                     

      L  = J *ω = J *v_E/r_E = m_E*r_E*v_E = n*h  [J s]       (Drehimpuls)

      F  = ^zF:    m_E*v_E²/r_E  = k₀*Z*e²/r_E²      v_E  = k₀*Z*e²/(n*h)

      E  = 0,5*m_E*v_E² = m_E*Z²*k₀²*e⁴/(n*h)²                       

     r_E  = (n*h)²/(k₀*Z*m_E*e²)

     v_E  = 2,18769126*10⁶       r_E  = 5,2917720808*10^-11

      E  = 0,5*m_E*v_E²/e =13,6057  [eV]

Man erhält jedoch keine Übereinstimmung der angreifenden Kräfte

      F  = 8,229756*10^-8  ≈ ^zF = 8,238723*10^-8  [N]

     ω  = v_E/r_E = 4,134137347*10¹⁶  [1/s]

     α  = e₀²/(2*ε₀*h*c) = 7,29735255*10^-3 [iv]

 1/α  = 137,03599936

Sieht man auch die notwendige Berücksichtigung der Rotation des Protons vor, dann erhält man:

  r_E1   = r₁ = h²/(m_E*k₀*e²) = 5,29177208*10^-11  [m]

          D_E   = r_E1 + r_P = 5,29465407*10^-11  [m]

            F   = ^zF:                   m_E*v_E²/r_E  = k₀*Z*e²/D_E²

           v_E   = k₀*e²/[h*(1+m_E/m_P)] = 2,18650045*10⁶  [m/s]

            ω   = v_E/r_E1 = 4,13188705*10¹⁶  [1/s]

            E   = J*ω²*ξ/e = 13,6131  [eV]

             F  = 8,229756*10^-8  = ^zF = 8,229756*10^-8  [N]

Betrachtet man nun das He-Atom (2 Protonen, 2 Neutronen und 2 Elektronen), dann fallen folgende Unterschiede auf, die nicht in dieses Weltbild passen:

 

 

Abb. 1

1.    Der Atomkern besteht aus 2 Protonen, die jeweils eine negative Ladung haben und sich deswegen abstoßen müßten.

2.    Wenn  man annimmt, daß die Protonen real einen Radius von r₀ ~ 1,2*10^-15 [m] besitzen, dann fragt mn sich, warum der Atomkern von Helium (A = 2) einen Radius von r_K ~ r₀ * A^1/3 ~ 1,9*10^-15 [m] haben soll[v], wenn schon die zwei Protonen zusammen einen Radius von ca. 2,4*10^-15 [m] besitzen. Dabei ist noch nicht einmal berücksichtigt, daß dieser Kern auch zwei Neutronen beinhaltet.

3.    Es ist äußerst unwahrscheinlich, daß (nach Bohrs Modell) den Kern umlaufende Elektronen die gleiche Bahn einschlagen. Nach Lagrange wären die Bahnpositionen unstabil.

4.    Wenn zwei positive Protonen sich, aus welchen Gründen auch immer, nicht abstoßen, dann könnten auch zwei negative Elektronen vereinigt auf einer Umlaufbahn existieren.

       Da sich jeweils zwei Protonen und zwei Elektronen elektrostatisch anziehen, die Anziehungskraft durch Fliehkraft neutralisiert wird, können Gravitationskräfte zwischen den beiden Protonen und auch den zwei Elektronen wirksam werden. Dadurch wäre eine Rotation der beteiligten Massen um einen gemeinsamen Schwerpunkt (s. Abbildung 2) möglich.

 

 

 

Abb. 2

5.    In einem Atomkern entspricht die Anzahl der ^-Elektronen stets der Anzahl ⁺Protonen. Auf einem Umlaufbahnniveau sind nie mehr als zwei Elektronen vorhanden.

6.    Bohr geht davon aus, daß das Elektron des H-Atoms um das Proton rotiert, wobei der Atomkern (Proton) genau im Zentrum des Systems ruht (eventuell um seine eigene Symmetrieachse rotierend). Das ist aber nicht korrekt, denn auch der Atomkern dreht sich um die Achse, die im gemeinsamen Schwerpunkt des Systems steht.

       Wenn also Bohr m_E*v_E*r_E = n*h = L setzt, vernachlässigt er das Trägheitsmoment des rotierenden Atomkerns. Richtig wäre also:

             J  = m_E * r_E² + m_K * r_K²  + Θ_E + Θ_K

       mit       Θ_E  ≈ ²/₅ * m_E * R_E²              und         

                       Θ_K  ≈ ²/₅ * m_K * R_K²

            L  = J  * ω = n * h ≈ m_E * r_E²*ξ

       Der Index: K steht jetzt für den Atomkern, der allerdings beim Wasserstoffatom nur aus einem Proton (Index: P) besteht.

       Da das Trägheitsmoment Θ um mehrere Zehnerpotenzen kleiner als das Trägheitsmoment der um den Schwerpunkt rotierenden Massen ist, kann es bei der Berechnung des Drehimpulses vernachlässigt werden. Somit ist mit r_K = r_E*m_E/m_K

    J  ≈ m_E * r_E² + m_K * r_K² = m_E * r_E² * (1 + m_E/m_K)  [kg m²]

   L  = J * ω = m_E * r_E² * ξ * ω  [kg m²/s] = n * h  [Js]

Da auf einer Umlaufbahn jetzt (also beim He-Atom) 2 Elektronen, bzw. 2 Protonen rotieren, sind diese Ladungen möglicherweise auch in der Lage, mehr als ein Wirkungsquantum aufzunehmen, bzw. zu emittieren.

Mit       ξ  = 1 + m_E/m_K

            ω  = n * h * 2/ (m_E*r_E² *ξ )  [1/s]

            F  = k₀ * Z * e² / D_EK²  [N]           

wobei              D_EK  = r_E + r_K [m]

                         ^zF  = m_E * v_E * ω  [N]                    

wobei                  ω  = v_E / r_E [1/s]

 k₀ * Z * e² / D_EK²   =    m_E * v_E * ω

            ω  =  k₀*Z *e² / (m_E*v_E*r_E² *ξ²)  [1/s]

Gleichsetzen der beiden Gleichungen für w ergibt dann

           v_E  = Z^0,5 * n * h / (m_E * r_E * ξ ) [m/s]          (s. w. unten)

[Hier wird vorweg genommen, daß sowohl für das Wasserstoff-, als auch für das Helium-Atom gilt:

             J  = m_E * r_E² * ξ    [kg  m²]

            L  = J * v_E/r_E = Z^0,5 * n * h    [J s] ].

Somit:

           r_E  = n² * h² /(m_E * k₀ * e²)    [m]

        E_ges  = 0,5 * m_E * v_E² * ξ    [J]

Es ist auch nicht einzusehen, weshalb nur der Quantensprung des Elektrons Energie emittieren soll, denn der Atomkern ist den gleichen Gesetzen wie das Elektron unterworfen. Für das H-Atom bedeutet das eine Multiplikation mit dem Faktor   ξ = 1,000545

Überprüft man die Rydberg-Konstante für H, dann ergibt sich bei Annahme eines unendlich schweren Kraftzentrums (m_E = ∞ [kg]):

 R_∞  = m_E*e⁴*/(8*ε₀²*h³*c) = m_E*e⁴*k₀²/(2*h²) * (h*c)^-1  [J]/[Jm]

       = 1,09737316046*10⁷  [m^-1]

 R_H  = R_∞ / (1+m_E/m_P) = 1,0967758377*10⁷  [m^-1]

Wobei  berücksichtigt wurde, daß das Proton nur eine endliche Masse m_P im Vergleich zur Elektronenmassse m_E hat (reduzierte Masse m = m_E / (1+m_E/m_P))[vi]

Wie weiter oben schon gezeigt, hat Bohr mit seinem Ansatz schon recht, doch hätte er auch die Rotation des Protons um den Schwerpunkt mit berücksichtigen müssen. Die manchmal verständliche Neigung vieler Physiker, bereits beim Ansatz der Theorieentwicklung Näherungen einzuführen, verstellt aber auch das Verständnis zum Prinzip. Im vorliegenden Fall wäre die Einführung einer reduzierten Masse unnötig gewesen, sie hätte sich aus der korrekten Berechnung des Problems von selbst ergeben:

 E_EK  = 0,5*(m_E*v_E² + m_K*v_K²) = 0,5*(m_E*v_E² + m_K*v_E²*m_E²/m_K²)

        = 0,5 * m_E * v_E² * ξ

        = m_E*e⁴*k₀²/(2*h²) * ξ  = H_H                        

mit                  K  = h*c

 R_H  = H_H/K = 1,09677584*10⁷    (Rydberg-Konstante für das

                                                  Wasserstoffatom)

mit    m_K = ∞

     E_EK∞  = m_E*e⁴*k₀²/(2*h²) = H[vii]                            

        R_∞  = H/K = m_E* e⁴ /(8*ε₀²*h³*c) = 1,0973731605*10⁷                       (Rydberg-Konstante)

 

 

Abb. 3

Für Wasserstoff stimmen die experimentell ermittelten Werte vollständig mit den berechneten Werten überein. Soll dagegen diese Berechnungsart auch für das Helium-Atom korrekte Werte ergeben, muß der Drehimpuls nicht mit n*h sondern mit Z^0,5*n*h gleichgesetzt werden.

Die Rydberg-Konstante ist im Prinzip nur ein Faktor (H) geteilt durch das Produkt (K) aus Planck-Konstante (h) und Lichtgeschwindigkeit (c) und ergibt somit ebenfalls aus der Berechnung von Bohr.

Somit ist:

       E  = 0,5*m_Eges*v_E²*ξ = 8,71711624*10^-18  [J] ≡ 54,408  [eV]

           = E_Rydb. = Z²*R_He*K/e  [eV]

 

n =	1,00	2,00	3,00	4,00	5,00
rE = 2*n2*h2/(k0*Z*e2*mE) =	2,64588604E-11	1,05835442E-10	2,38129744E-10	4,23341766E-10	6,61471510E-10
vE = Z0,5*n*h/(mE*rE*ξ) =	3,09302097E+06	1,54651049E+06	1,03100699E+06	7,73255243E+05	6,18604195E+05
ω =	1,16899251E+17	1,46124064E+16	4,32960190E+15	1,82655080E+15	9,35194011E+14
vK =	8,41675851E+02	4,20837925E+02	2,80558617E+02	2,10418963E+02	1,68335170E+02
rK =	7,20001061E-15	2,88000425E-14	6,48000955E-14	1,15200170E-13	1,80000265E-13
FE = k0*Z*e2/DEP2 =	6,58739239E-07	4,11712024E-08	8,13258319E-09	2,57320015E-09	1,05398278E-09
zF = mE*vE2/rE =	6,58739239E-07	4,11712024E-08	8,13258319E-09	2,57320015E-09	1,05398278E-09
E = h*R∞*c/n2 =	8,71711624E-18	2,17927906E-18	9,68568472E-19	5,44819765E-19	3,48684650E-19
E [eV] =	54,40796	13,60199	6,04533	3,40050	2,17632
E = 0,5*mE*vE2*(1+mE/mK) =	8,71711624E-18	2,17927906E-18	9,68568472E-19	5,44819765E-19	3,48684650E-19
E [eV] =	54,40796	13,60199	6,04533	3,40050	2,17632
L = mE*rE2*(1+mE/mK)*ωE =	1,49138958E-34	2,98277915E-34	4,47416873E-34	5,96555830E-34	7,45694788E-34
ΔL =	1,49138958E-34	1,49138958E-34	1,49138958E-34	1,49138958E-34	1,49138958E-34
L = Z0,5*n*h =	1,49138958E-34	2,98277915E-34	4,47416873E-34	5,96555830E-34	7,45694788E-34

Tab. 1

Die hier angegebenen Formel gelten sowohl für Wasserstoffatom (Z^0,5 = 1) als auch für Heliumatom (Z^0,5 = 1,4142). Für Atome mit höherer Ordnungszahl ist dieses Modell schwieriger darzustellen, es spricht allerdings schon jetzt einiges dafür, daß das Bohr-Modell den tatsächlichen Verhältnissen am besten entspricht.

Will man die 1. Ionisierungsenergie für Helium (also dem He-Atom nur ein Elektron zu entreißen) nach der hier vorgestellten Rechenmethode bestimmen, dann erhält man eine Energie von 27,2077 [eV].

 

 

 

 

 

Abb. 4

Nimmt man an, daß das Lithium-Atom zwei Rotationssysteme besitzt, nämlich wie in Abbildung 4 im oberen Bild angedeutet ein erstes Rotationssystem, bei dem der Kern (2 Protonen und 2 Neutronen) sowie zwei Elektronen um einen ersten Systemschwerpunkt rotieren, dann neutralisieren sich in diesem System die zwei ⁺Protonen und die zwei ^–Elektronen. In Abbildung 4 unten wird vorausgesetzt, daß der um 1 Proton und 2 Neutronen vergrößerte Kern seinen Schwerpunkt im Systemschwerpunkt des ersten  Rotationssystems hat und nun um einen neuen Systemschwerpunkt rotiert wie auch das dritte neu hinzugekommene Elektron. Nun neutralisieren sich das jeweils neue ⁺Proton und das ^–Elektron.

n	rn [m]	E [eV]	ΔE [J]	λ [nm]
1	2,646*10-11	54,408
2	1,058*10-10	13,602	40,806	30,38
3	2,381*10-10	6,045	7,557	164,07
4		3,401	2,645	468,78
5		2,176	1,224	1012,79

 

Tab. 2

Berechnet man also zunächst das innere Rotationssystem (Kern [2Protonen plus 2 Neutronen] sowie 2 Elektronen rotieren um ihren gemeinsamen Systemschwerpunkt), dann erhält man nach der von Bohr vorgeschlagenen Methode die Werte der Tabelle 2.

 

Tab. 3

Berechnet man nun weiterhin das zweite Rotationssystem (Kern besteht jetzt aus 3 Protonen, 4 Neutronen und 2 Elektronen), wobei das 3. Elektron und der Kern um einen neuen gemeinsamen Systemschwerpunkt rotieren, erhält man die Werte der Tabelle 3.

Beide Berechnungen liefern also die Hauptlinien des Spektrums (Wellenlängen: 468,78 nm, sowie 656,16 nm) für das Lithium-Atom.

Geht man dagegen vor wie in der Literatur vorgeschlagen, erhält man die Werte der Tabelle 4.

n	rn [m]	E [eV]	ΔE [J]	λ[nm]
1	1,764*10-11	122,423
2	7,056*10-11	30,606	91,82	13,5
3	1,588*10-10	13,603	17,00	72,92
4		7,651	5,95	208,34
5		4,897	2,75	450,11
			1,50	828,62

Tab. 4

Diese Pauschalberechnung liefert also keineswegs die besonders charakteristische Spektrallinie (656,16 nm) des Lithiums.

Hinzuweisen ist überdies, daß bei diesen Berechnungen zwar für das Wasserstoffatom das Postulat von Bohr[viii] zutrifft, da mit Z = 1

   ΔL_H  = h * Z^0,5 = h

aber bei He mit Z = 2

ΔL_He  = h * Z^0,5 = h * 1,4142

entsprechend

  ΔL_Li  = h * Z^0,5 = h * 1,7321                und                 ΔL_Be  = h * Z^0,5 = h * 2

 

 [18.05.2009]