Kleine Polemik zur Quantenmechanik

Zusammenfassung:

Am Beispiel des Kapitels 16 im Lehrbuch "Gerthsen Physik" Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 20. Aufl., 1999 wird ein kritischer Versuch an den Grundvoraussetzungen der o. g. Theorie unternommen. Dabei werden den Zitaten die Bedenken des Autors direkt gegenüber gestellt.


Zur Einleitung

Zitat (S. 887):

„…der Dualismus zwischen zwei verschiedenen Beschreibungsweisen der Wirklichkeit (Teilchen- und Wellenbild) kann nicht länger als grundsätzliche Schwierigkeit betrachtet werden, da es … in der mathematischen Formulierung keine Widersprüche geben kann.“

                                                                                      Werner Heisenberg

Die Kopenhagener Deutung der Quantentheorie (1963) …

 … den optischen, der am Analogon der Welle-Teilchen-Dualität des Lichtes die gleiche Dualität für die Materie entwickelt, …

Zitat Ende.

Ich möchte ihm gern glauben, aber ich stelle immer wieder fest, dass zumindest am Anfang der Betrachtungen etwas durcheinander geht:

        •     Das Atom stellt man sich als Kern mit ihn umlaufenden Elektronen vor, oder

        •     die Elektronen bilden pulsierende Schalen um den Kern.

        •     Das Atom emittiert im nicht erregten Zustand keine Photonen,

        •     Photonen, bzw. Licht oder Strahlung werden erst emittiert wenn dem Atom Energie zugeführt wird.

        •     Diesen Vorgang stellt man sich so vor, dass Elektronen von einer Schale, bzw. Hülle in eine höhere Elektronenschale gehoben werden und dann (quasi bei Übersättigung) spontan quantisierte Energie emittieren und dabei wieder in ihre ursprüngliche Position zurückspringen.

Erstens soll hier festgehalten werden, dass es bei der Quantenmechanik anfänglich nur um Phänomene geht, die dual gedeutet werden können, nämlich als Welle und als Teilchen. Zweitens handelt es sich um Phänomene, die natürlich existieren (Licht, α-, β- γ-Strahlen) und nicht von Menschen (Generatoren, Radio- und Fernsehsender, Schwingungen von Maschinenteilen, Strömungen in Kanälen, etc.) verursacht wurden.

Der Umlauf, bzw. das Pulsieren der Elektronen verläuft möglicherweise in einer bestimmten Frequenz, was aber bei einem nicht angeregten Atom kaum zu beobachten sein wird. Erst im angeregten Zustand ist Strahlung-, Licht-, bzw. Energieemission zu messen, wobei je nach Anregungszustand eine geringere bis höhere Frequenz zu beobachten ist.

Es besteht eigentlich kein Anlaß, das Pulsieren am, oder Rotieren des Elektron um den Atomkern direkt auf die Eigenschaft eines Photons zu übertragen. Vielmehr könnte mehr oder weniger Energiezufuhr zum Atom die Quantensprungfrequenz beeinflussen, wobei die Energieemission stets in Richtung geringerer Entropie erfolgt.

Immerhin sprechen Heisenberg und Schrödinger von 3 Streckendimensionen (x, y und z) und einer Zeit (t), wobei die letztere keineswegs die „Weltzeit“ bedeutet. Dennoch bewegen sich die betrachteten Teilchen (Licht) von der Emissionsstelle gradlinig radial weg. Da ohnehin nur das Teilchen betrachtet wird, das auf den Betrachter oder die Empfängerstelle (Meßstelle, Sensor) direkt hinzu kommt, würde es auch genügen, nur eine Streckendimension (x) mathematisch zu behandeln.

Weiter müßte meiner Meinung nach ein Atom oder ein Teilchen anders gesehen werden als Licht. Während Licht eine schnelle Abfolge von Energiepaketen ist, sind Elementarteilchen meistens nur Einzelerscheinungen, die allerdings als Welle insofern betrachtet werden können, als sie einen Spin besitzen. D. h. sie selbst rotieren oder auch ihr Umfeld (Elektronen) rotiert um den Kern.  Man sollte aber zusätzlich bedenken, dass „Welle“ durch Trägheit des Mess- oder Beobachtungssystems vorgetäuscht werden kann, oder ein angeregtes Atom Licht oder andere Signale aussendet und somit „Dualität“ zeigt.

Es mag außerdem sein, dass die axiomatische Bearbeitung des Problems für exzellente Mathematiker schneller ist, aber ob es die Realität trifft, ist zweifelhaft.

 

16.1.1 Vektoren und Funktionen

Zitat (S. 887):

Eine der fruchtbarsten Erkenntnisse von David Hilbert war, dass Funktionen sich formal genau so verhalten wie Vektoren. Man kann dies logisch verbindlich nachweisen, indem man zeigt, dass beide – Funktionen und Vektoren – den gleichen Axiomen genügen, aus denen sich dann alle Eigenschaften des Vektorraumes ergeben. Die Funktionen bilden also auch einen Raum, den Hilbert-Raum.

Zitat Ende.

Eine Kurve, eine Fläche oder ein Raum läßt sich ohne Komplikationen durch Vektoren oder auch durch Funktionen darstellen. Insofern verstehe ich nicht ganz die Feststellung, dass Funktionen auch einen Raum bilden.

 

Zitat (S. 888):

Man kann dann die Länge oder Norm eines Vektors bzw. einer Funktion als die Wurzel aus dem Skalarprodukt mit sich selbst definieren. Wenn die Funktion komplex ist, muß man sie, wie im Komplexen üblich, mit ihrem Konjugiert-Komplexen f* multiplizieren.

Zitat Ende.

Mathematische Volten in der Physik zu schlagen, ist mehr als bedenklich. Ich nehme an, dass man diese Praxis eingeführt hat, um komplexe Funktionen (z. B. eix wie auf S. 890) zu rechtfertigen, weil sonst nichts anderes eingefallen ist.

 

16.1.3 Eigenfunktionen und Eigenwerte

Zitat (S. 889):

Ein Operator hat auf eine Funktion, ebenso wie eine Matrix auf einen Vektor, im allgemeinen zwei Wirkungen: Er streckt sie (ändert ihre Länge) und er dreht sie (ändert ihre Richtung). Für die Drehung gibt es bei unendlich vielen Dimensionen allerdings sehr viele Möglichkeiten. Besonders wichtig sind Fälle, wo diese Drehung ausbleibt, d. h. wo die Funktion Af parallel zur Funktion f ist.

Zitat Ende.

Hier stelle ich schon einmal die Frage, weshalb eine Drehung der Funktion oder des Vektors überhaupt erwähnt wird? Die Messung von Teilchen oder Wellen wird stets auf dem direkten Weg Ereignis(Signal)-Empfänger(Meßvorrichtung) geschehen. Parallelität ist deshalb problematisch, weil nie garantiert werden kann, dass absolut identische Ereignisse gleichzeitig gemessen werden können.

 

Zitat (S. 890):

Hierbei können Funktionen und Operator komplex sein. …

 … Da sich aber alle „vernünftigen“ Funktionen nach Fourier in eine Summe oder ein Integral über Funktionen der Art ψ = eikx entwickeln lassen, brauchen wir nur diese zu betrachten (der Operator ist ja linear). Das konjugiert Komplexe von eikx ist einfach e-ikx.

Zitat Ende.

Erstens sind Fourier-Reihen stets trigonometrische (periodische) Reihen, bei denen es hauptsächlich um Überlagerung von Sinuswellen geht. Zweitens handelt es sich um Gleichungen für gedämpfte Schwingungen. Ich halte es für sehr bedenklich, diese Art von Gleichungen für die Beschreibung von Licht zu verwenden. Auch für sich schnell fortbewegende Elementarteilchen dürften diese Gleichungen unpassend sein.

 

16.2 Grundzüge der Quantenmechanik

Zitat (S. 891):

Leider sind die Axiome der Quantenmechanik nicht so evident wie Newtons Axiome der Mechanik und stehen der Erfahrung noch etwas ferner als die Maxwell-Axiome der Elektrodynamik. Man muß sie zunächst einfach lernen und ihren Sinn in der Anwendung begreifen.

Zitat Ende.

Dieser Absatz ist eigentlich ein Armutszeugnis: “Wir Professoren können eigentlich nichts dafür; aber ihr Studenten müßt es einfach mal lernen.” Das führt letztenendes dazu, dass Keiner mehr den Ursprung der Überlegungen überprüft, sondern einfach drauflos rechnet.

 

16.2.1 Die Axiome[i]

Zitat:

Diese Axiome drücken vor allem den neuen, experimentell gesicherten Tatbestand aus, dass nicht alle physikalischen Größen unter allen Umständen einen scharfen Wert haben. Selbst wenn ein physikalisches System vollständig bestimmt ist, liefert eine Messung an ihm nicht immer den gleichen Wert. Das System sei z. B. ein 226Ra-Kern. Die Messung besteht einfach darin, dass wir nach 1 s kontrollieren, ob dieser Kern noch da ist oder sich umgewandelt hat. Beides kann vorkommen. Trotzdem ist das System durch die Aussage, dass es sich um einen 226Ra-Kern handelt, völlig bestimmt. Man kann dem Kern auf keine Weise ansehen, ob er gleich zerfallen wird oder erst sehr viel später.

Zitat Ende.

Na, das ist doch mal eine Aussage! Ähnlich kann man die Situation beim Furz darstellen. Man weiß, es handelt sich jedenfalls um Meteorismus, aber man kann nicht genau sagen, ob die Flatulenz sofort, später oder wie mächtig erfolgt. Oft sind Leben und Physik Zufällen gleichermaßen unterworfen. Wer weiß schon, ob und wann die Sonne, die es offensichtlich auf jeden Fall gibt, verglüht, explodiert oder in sich zusammenstürzt?

 [„Axiom: Grundlegende Aussage einer mathematischen Theorie, welche man zusammen mit anderen Axiomen unbewiesen an die Spitze der Theorie stellt.“[ii]]

Wenn ich einen Wert nicht mehr messen kann, liegt das in erster Linie an der Qualität meiner Messmethode, bzw. meinen Messinstrumenten. Sicherlich können bei Messreihen verschieden hohe Werte in unterschiedlicher Menge auftreten, deren errechneter Mittelwert als bevorzugte Größe angenommen werden kann. Die Treffsicherheit dieses Wertes kann ich jedoch durch verbesserte Messinstrumente und größere Messmengen verbessern.

Die Aussage zum Ra-Kern ist ziemlich abstrus: So lang der Kern vorhanden ist, wird man ihn wohl messen (entdecken) können, ist er jedoch zerfallen, kann er nicht mehr entdeckt werden, aber vielleicht dessen Zerfallsprodukte. So einfach ist das!

Wenn ein Ereignis vorhersehbar wäre, könnte man auf „Wahrsager“ verzichten. Selbst geplante Ereignisse gehen manchmal schief.

Übrigens wird hier schon nicht mehr von Licht gesprochen, sondern von Teilchen, denen man aber auch Wellencharakter zumisst.

Vielleicht hilft hier die Betrachtung von kochendem Wasser in einem Topf. Unstrittig soll sein, daß die Wärme von einer heißen Herdplatte auf den Boden des Topfes durch Wärmeleitung und auch Wärmestrahlung und von dort an das Wasser übertragen wird. Messbar ist die Wärmemenge pro Zeiteinheit, bzw. insgesamt. An der Grenzschicht Topfboden/Wasser bilden sich Dampfblasen. Es ist allerdings nicht möglich vorauszusagen, wo sich eine Dampfblase bildet, wie groß sie ist und wann sie sich vom Topfboden löst. Im Allgemeinen interessieren diese Details auch keinen Physiker. Wichtig ist, dass bei großer Wärmezufuhr mehr Dampf gebildet wird als bei geringerer.

 

Zitat:

Entweder sind die Größen, die für eine solche Voraussage nötig wären (Orte und Impulse der Nukleonen im Kern usw.) nicht angemessen zur Beschreibung des wirklichen Wesens des Systems, sondern nur Atavismen aus der klassischen Physik; oder sie sind angemessene Beschreibungen, aber ihre jeweiligen präzisen Werte sind entweder prinzipiell nicht erkennbar oder gar nicht vorhanden. Welche Deutung man wählt oder ob man sogar die Quantenmechanik nur als ein vorläufiges Begriffssystem ansieht, das einmal einer Renaissance des Determinismus weichen wird, ist mehr oder weniger Ansichtssache.

Zitat Ende.

Hat man nun mit der Quantenphysik die Möglichkeit geschaffen, exakt vorherzusagen, wann ein 226Ra-Kern zerfällt? Natürlich nicht! Auch die Entstehung einer Supernova ist kaum vorhersagbar[iii]. Aber offensichtlich will man mit der Quantenmechanik die Verhältnisse im Atom (s. o. Orte und Impulse der Nukleonen im Kern usw.) beschreiben und nicht die des Lichts. Das scheint mir aber ein Problem zu sein, das mit Hilfe von Hamilton vorerst nicht gelingen kann, dessen Formel ein System von Massenpunkten mit vielen Freiheitsgraden  f  beschreibt und  die Zeitabhängigkeit der verallgemeinerten Geschwindigkeits- und Impulskoordinaten berechnen hilft. Ein schwerer Ra-Kern mit vielen Nukleonen ist mit Sicherheit ein enormes Problem für die Aufstellung und Lösung von 2 f Differentialgleichungen. Selbst weniger schwere Kerne, die noch nicht einmal emittieren, werden diesbezüglich Schwierigkeiten verursachen. Man kann noch nicht einmal genau bestimmen, mit welcher Geschwindigkeit die Elektronen bei einem solchen nicht angeregten Kern schwingen, oder auf welchen Bahnen auch immer sie um den Kern laufen. Auch die Schwingungen oder Rotationen der Nukleonen des Kerns werden im nicht angeregten Zustand z. Zt. kaum zu messen sein. Eine weitere Unsicherheit wird die Bestimmung des Einflusses des wirkenden Gravitationsfeldes sein.

Eine andere Frage ist die Messung von emittierten und durch den Raum eilenden Elementarteilchen oder Photonen. Schwingt z. B. Licht in Wellen oder werden Wellen nur dem „trägen“ Beobachter oder Sensor durch eine sehr schnelle Folge von Teilchen vorgetäuscht? Im letzteren Fall kennt man den Impuls h der Einzelteilchen, benötigt aber zur Errechnung dieser Energie keine Kenntnisse der Flugbahn (ohnehin gerade) oder der Einzelorte (auf der ganzen Bahn befinden sich im Abstand von l nahezu identische Teilchen).

 

Zitat (S. 892):

Wenn die Zustandsfunktion y eines Systems sich aus mehreren anderen Zuständen fk additiv superponieren läßt, d. h. wenn ψ =  ∑ ckfk, dann kann man so tun, als seien diese Zustämnde fk alle gleichzeitig vorhanden. Der Anteil der Teilzustände fk zu meßbaren Größen bemißt sich nicht nach ihrem Beitrag zu ψ, sondern zu ψ* * ψ.

Zitat Ende.

Dieses Zitat und die folgenden Ausführungen auf Seite 892 sind tatsächlich trocken und unanschaulich. Ich habe den Verdacht, dass das Methode ist, um bestimmte Zusammenhänge zu verschleiern. Ich frage mich, worum es eigentlich geht? Welcher Meßwert wahrscheinlich am genauesten den Zustand in einem Atom (angeregt oder nicht angeregt) wiedergibt, oder geht es um Signale, die von so einem Atom emittiert werden?

Wenn hier von Superposition gesprochen wird, dann meint man sicherlich die Überlagerung von Wellen.

Wie man im Verlauf dieses Kapitels sehen kann, wird nicht nur versucht, den Maximalwert einer Welle zu ermitteln, sondern man verwendet auch willkürlich eine passende Wellenfunktion, die mit sich selbst, bzw. ihrem imaginären Anteil multipliziert ein mathematisch ordentliches (wahrscheinliches) Ergebnis liefert.

Mich ärgert, dass einerseits der Drehimpuls (h [Js]) von Elektronen, die um einen Kern rotieren, in der Betrachtung verwendet wird. Andererseits tut man so, als ob der Impuls einer emittierten, longitudinalen Welle in die Berechnung eingeht. Immerhin wird in diesem Zusammenhang eine von de Broglie (S. 893) geforderte Wellenlänge (λ = h/px) erwähnt. Bohr hat versucht das Wasserstoff-Atom nach klassischer Methode zu berechnen und hat Übereinstimmung gefunden zwischen den Radien von Umlaufbahnen (n) und den kinetischen Energien (Wkin) des Elektron auf den jeweiligen Bahnen, wobei er die Drehimpulse (L) des rotierenden Elektrons für jede Bahn als Vielfaches (n) des Planckschen Wirkungsquantums (h) vorausgesetzt hat (L = n*h). Diese Berechnung führt bereits beim He-Atom zu keiner befriedigenden Lösung[iv].

Planck und Einstein haben experimentell gezeigt, daß Lichtenergie quantisiert ist. Impuls und Energie ( Wkin = h*nWA) der auf eine Metalloberfläche eintreffenden Photonen schlagen Elektronen aus der Materie heraus[v]. Mit dieser Formel ist allerdings zunächst nur gesagt, daß h*v die Energie von vielen Photonen ist, die in der Zeitfolge von v  [1/s] auf der Metalloberfläche eintreffen. Es kann also sein, daß der getroffene Atomverbund erst eine bestimmte Energiemenge speichern muß, ehe das Elektron emittiert wird.

 

Zitat (S. 892/893):

Der richtige Operator ist der, für den sich im klassischen Grenzfall das bekannte klassische Verhalten ergibt. Diese Analogien werden am klarsten, wenn man die klassische Mechanik in der Form von Hamilton und Lagrange darstellt,  …

 … Man findet so:

Der Operator der Lagekoordinate x eines Teilchens entspricht der Multiplikation mit der Variablen x:

              xψ  = .                                                                            (16.10)

Der Operator der Impulskomponente px entspricht der partiellen Ableitung nach x:

             pxy  = h / d/dx      ψ = h / i  /dx                                       (16.11)

Zitat Ende.

Man versucht jetzt also zu bestimmen, an welchem vorher bestimmbaren Ort ein emittiertes Teilchen einen genau meßbaren Impuls besitzt. Da nur eine e-Funktion ihrer eigenen Ableitung proportional ist, schließt man messerscharf, dass ein Zustand mit scharfem Impuls nur durch

              ψ  = ψ0*eipx/h                                                                (16-12)

beschrieben werden kann.

Meine Bedenken zu dem gesamten Verfahren sind:

        •  De Broglie postulierte die Dualität von Welle und Teilchen. Die allgemeine Plancksche Beziehung E [J] = h [Js]*v [s-1] drückt aus, dass die Energie einer Welle sich durch das Produkt aus Drehimpuls und Frequenz ergibt. Das meinte jedoch, dass je Sprung (Frequenz) eines Elektrons von einer höheren Umlaufbahn um den Atomkern zu der nächst niedrigeren Umlaufbahn die Differenz (Wirkungsquantum) seines Drehimpulses (nicht das Elektron selbst) emittiert wird. De Broglie folgerte für die Wellenlänge des Teilchens    λ [m]   = h [Js] / p [Js/m] ≡ [m]

Allerdings funktioniert diese Rechnung nur mit dem Zusammenhang  cv * λ, der Einsteinschen Gleichung und der Planckschen Formel

     E  = m*c2p*c = pv * λ = hv

somit:       λ  = h / p

Nähme man als Ausgangsgleichung              E  = ½ *m*c2

dann erhielte man:                                          λ  = 2*h / p

        •  Unbeschadet dieser Korrektur zeigt aber der Gedankengang, dass sich der Impuls aus Quantensprüngen der Größe h errechnet, also aus einer Drehimpulsdifferenz. Es geht also ursprünglich um Elektronen, die auf ihrer Bahn um den Atomkern rotieren. Der sich daraus ergebende Puls wird in Lichtgeschwindigkeit c [m/s] und einer Abfolge von n [Pulse/sek] in die Umgebung emittiert.

        •  In dieser Überlegung ist bislang nicht aufgetaucht, dass das rotierende, noch nicht emittierende Elektron eine Welle mit der Frequenz v, dem Puls p und der Energie E = m*c2 sei. Die Geschwindigkeit v [m/s] des rotierenden, nicht angeregten Elektrons eines H-Atoms ist nach Bohr sehr viel geringer (ca. 2,19*106 [m/s]).

        •  Auch vermisse ich die Newtonsche Logik, dass zwei sich anziehende Massen (hier mP und mE) ineinanderstürzen würden, wenn sie nicht umeinander rotieren und durch die Fliehkräfte zF die Anziehungskräfte eF kompensiert würden.

        •  Die Wissenschaft nimmt als selbstverständlich gegeben an, dass der Atomkern aus einer kompakten Ansammlung von +Protonen (und Neutronen) besteht, also Teilchen die sich nach vorherrschender Meinung abstoßen sollten. Warum sollten dann nach diesem Vorbild nicht auch die (zwei) Elektronen auf ihrer angestammten Bahn zusammengeballt sein. Ohnehin ist nach Lagrange schwer vorstellbar, dass zwei einzelne Massen auf einer gemeinsamen Umlaufbahn stabil ihre Position halten.

 

Zitat (S. 893):

Der Realteil hiervon ist eine harmonische Welle:

                        …

…mit der Wellenlänge λ = h/px, wie sie de Broglie gefordert hat.

Nur harmonische ψ-Wellen haben einen bestimmten Impuls.

Zitat Ende.

Ist hier also nicht mehr von einem schwingenden oder rotierenden Elektron die Rede, sondern geht man davon aus, dass Licht, als sich in x ausbreitende Welle berechnet wird, oder will man den Zustand des rotierenden Elektron auf seinem Weg um den Atomkern mit x als Weg auf der Umlaufbahn berechnen?  Zusätzlich betrachtet man plötzlich auch das individuelle Photon als Welle (e-Funktion), das einen bestimmten Impuls hat[vi].

Wenn von einer (Licht-)Quelle stoßweise (in einer bestimmten Frequenz) Energiebündel (Quanten, bzw. Photonen) emittiert werden, kann das der Sensor (Auge, Empfänger) mit entsprechenden Hilfsmitteln durchaus als Welle (f = c/λ) empfinden. Die Photonen treffen auf den Sensor in der entsprechenden Frequenz und geben dort ihre stoßweise eintreffende Energie mehr oder weniger ab.

Die dort gemessene Frequenz oder Wellenlänge ist aber nicht notwendigerweise die Schwingung des einzelnen Photons. Der von de Broglie geforderte Zusammenhang l = h/px bezieht sich auf quantisierte Pulse, die im Abstand von l auf den Sensor treffen und nicht auf die individuelle Wellenlänge eines irgendwie (z. B. e-Funktion) schwingenden Photons (s. S. 894, Abb. 16.1.). Der Impuls des Photons ist immer noch px = mPh*c  [Js/m], wobei davon auszugehen ist, dass das Photon sich nur in x-Richtung (auf den Beobachter zu) bewegt (s. o.).

Hier bauen sich also erhebliche Widersprüche im Ansatz auf.

 

Zitat:

Etwas schwieriger ist die Frage, in welchen  Zuständen das Teilchen sich an einem scharf bestimmten Ort befindet, z. B. an der Stelle x = a.

Zitat Ende.

Diese Frage ist nicht schwierig, sondern überflüssig! Das Teilchen (zum mindesten gilt das für das Licht) und alle ihm im Abstand λ folgenden Energie-Quanten transportieren die Energie h (eigentlich ursprünglich ein Drehimpuls[vii] und deshalb h*v [Js * s-1] mit v = 1 [s-1]). Je kürzer die Abstände zwischen den Teilchen, um so mehr Energie wird transportiert (und umgekehrt).


Interessant ist vor allem der Ort, an dem das oder die Teilchen ihre Energie abladen. Da auf dem Weg dorthin nichts weiter passiert (es sei denn, das oder die Teilchen verlieren auf ihrem Weg etwas Energie), ist es ziemlich egal, wo das Teilchen sich zu einem bestimmten Zeitpunkt befindet, bzw. welchen Puls es hat.

 

 

 Abb. 1

Aus der Abbildung 1 ist ersichtlich, dass danach der Ort der Teilchens immer wieder beim Funktions-Wert von |ψ|2 =  1 angezeigt wird und der sich hier im Bild bei x = 0,011; 0,039; 0,067; usw., also mit einem Abstand von ≈ Δx = 0,028 wiederholt. Offensichtlich sind das Orte von einer Vielzahl von Teilchen.


 

Abb. 2

Wenn nun diese Funktion nicht geeignet erscheint, einen Zustand mit einem scharfen Impuls zu beschreiben und man sich gezwungen sieht, eine e-Funktion (s. Abbildung 2) einzuführen, die noch dazu imaginär ist, dann wird meines Erachtens die Natur durch Mathematik vergewaltigt.

Ganz offensichtlich wird mit dieser Funktion nicht mehr eine Folge von Pulsen oder Teilchen beschrieben, sondern ein selbst schwingendes Teilchen (Photon, oder auch Wellen-pakete mit unterschiedlichen Wellenlängen), von dem man annimmt, dass es durch eine gedämpfte Schwingung am besten repräsentiert wird. Ganz selbstverständlich wird als der wahrscheinlichste Ort des Teilchens jetzt mathematisch der Ort des größten Schwingungs-ausschlages ermittelt. Aber auch bei diesem Modell stört, dass mathematisch negative Pulse (bei originärem Licht[viii] nicht zu beobachten) mit in Betracht gezogen werden.

Meiner Meinung nach ist bereits beim Ansatz der Theorie eine gewisse (Denk-) Unschärfe gegeben.

 

16.2.2 Die Unschärferelation

Zitat (S. 894):

Es ist klar, dass eine Eigenfunktion des Impulses (harmonische Welle) nicht zugleich Eigenfunktion des Ortes (d-Funktion) sein kann. Es gibt also keinen Zustand,  in dem ein Teilchen zugleich einen scharfen Impuls px und einen scharfen Ort x hat. Man kann sogar zeigen, dass in einem Zustand mit scharfem Impuls der Ort völlig unbestimmt ist und umgekehrt; die nach Axiom 4 gebildeten Erwartungswerte geben nämlich in diesem Fall mathematisch keinen Sinn.

Zitat Ende.

In der klassischen Physik (bei Lagranges und Hamiltons Ansatz ebenso) ist der Impuls unabhängig vom Ort der Masse, sondern nur von Masse m und Geschwindigkeit v. Warum sollte nun, nur weil die Teilchen eine sehr kleine Masse haben, dieses Prinzip nicht mehr gelten? Es ist doch völlig willkürlich, das Teilchen zu einer harmonischen Welle und weiterhin den Impuls vom Ort abhängig zu deklarieren. Das Teilchen hat einen Impuls, einerlei wo es sich befindet. Bei den hohen Geschwindigkeiten von Photonen oder Elektronen ist der Ort ohnehin nicht zu messen. Meßbar sind Emissionsquelle und Absorptionsort.

Selbst bei der Betrachtung des Atoms ist der Ort des Impulses uninteressant. Der Drehim-puls ändert sich wenn Elektronen ihre Umlaufbahn wechseln. Der dabei frei werdende Energieüberschuß wird emittiert, wobei der Empfänger nur die Energie wahrnimmt, die ihn unmittelbar trifft.

 

Zitat (S. 894):

Zeichnerisch sieht man leicht ein, dass das Hauptmaximum der Interferenzfigur bei einer solchen Überlagerung gerade die Breite Δx hat, die mit der Breite des benutzten Wellenlängenbereiches so zusammenhängt:

                  Δx  ≈ λ2/Δλ                                                                        (16.15)

Nach der de Broglie-Beziehung bedeutet  das

                 Δx  ≈ h/Δpx                                                                         (16.15’)

Das ist die Heisenberg-Unschärferelation.

Zitat Ende.

Zunächst scheint hier ein Druckfehler[ix] vorzuliegen, denn andere Bücher weisen aus:

                        Δx  ≈ h/Δpx              oder        Δx * Δpx  = h/2π

Heisenberg nimmt also an, dass ein einzelnes, schnell bewegtes Teilchen ein Wellenpaket sei. Dieses Paket soll aus der Überlagerung vieler Wellen entstehen, das dann den Charakter einer gedämpften Welle hat. Alle diese Wellen sollen nun auch noch am gewünschten Ort x = a ein Maximum haben. Das sind viele unbewiesene Annahmen. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit an diesem Maximum ist dann das Allerletzte. Dabei weiß man durch Experimente ziemlich genau, dass bei dem Vorgang in hoher Transfergeschwindigkeit Puls, bzw. Energie (E = 0,5*px*c [J]) und damit auch der Ort des Teilchenimpulses transportiert wird.

[Empfehlung zum Nachlesen: “Abb. 31-3 Elektronenspur in einer Blasenkammer, die mit flüssigem Wasserstoff gefüllt, ist. Jay Orear; Physik; C. Hanser Verlag, 1982/1985.“]

Man kann am Kondensstreifen den Weg des Teilchens nachträglich verfolgen. Wo allerdings das Elektron zu einem bestimmten Zeitpunkt mit welchem Impuls war, ist eigentlich uninteressant, könnte aber aus diesem Experiment berechnet werden.

 

16.2.3 Der Energieoperator (Hamilton-Operator)

Zitat (S. 896):

Wie der Operator aussieht, der einer bestimmten physikalischen Größe entspricht, kann man nicht streng ableiten. Zumindest für einige Grundgrößen muß man diesen Zuasammen-hang erraten.

Zitat Ende.

Ich halte diese Ausgangsposition und die daraus abgeleiteten Folgerungen (S. 896 bis 898) für ziemlich abenteuerlich.

 

16.2.4 Die Schrödinger-Gleichung

Zitat (S. 898):

Wie haben in Abschn. 16.2.1 immer nur von einer Impulskomponente gesprochen, während es doch drei gibt.

Zitat Ende.

Hier wieder die Schizophrenie: a) Pulsierendes Atom mit schwingenden Elektronen oder b) Emission von Photonen, Energiepaketen oder Elementarteilchen. Im Fall b hat man es sicherlich nur mit einer Impulskomponente zu tun.

 

         Dazu wird an anderer Stelle[x] geschrieben

Zitat:

Wellenfunktion y (x, y, z, t), komplexe Funktion, mit der der Zustand eines Teilchens quantenmechanisch beschrieben werden kann. Sie ist ein mathematisches Hilfsmittel und kann nicht experimentell gemessen werden.

Wahrscheinlichkeitsdichte oder Aufenthaltswahrscheinlichkeit ω (x, y, z, t), die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen zur Zeit t am Ort r = (x, y, z) im Volumen dV zu finden. Sie ist proportional zum Betragsquadrat der Wellenfunktion.

Zitat Ende.

         Sowie:

Zitat (s. Fußnote 6):

                      h*n  = h2k2/(8*π2*m) + V(r)

                               = p2/(2*m) + V(r)

Das ist der wohlbekannte Energiesatz, wenn h*n die Energie eines Quantes mit der Frequenz n ist.

Zitat Ende.

Die Mathematik ist offensichtlich biegsam, aber manchmal nicht besonders logisch! Nehme ich konventionell

                      h*n  = E = 0,5*m*c2 = p*c/2               

dann wird mit    p  = m*c,              bzw.             c  = p/m

                      h*n  = p*c/2 = p2/(2*m)                (s.o.)

Relativistisch gerechnet wurde dagegen stets mit E = m*c2.

Wenn man so kompliziert zur konventionellen Lösung kommt, ist es kein Wunder, dass die Quantenmechaniker ihre Rechenkunststücke bestätigt sehen.

 

16.2.4 Die Schrödinger-Gleichung

Zitat (S.900):

Jeder Zustand und nur ein Zustand, der sich mit der Zeit nicht ändert, hat eine scharfe Energie. Zustände von Atomen und Molekülen, in denen sie weder strahlen noch Licht absorbieren, also keine Gelegenheit haben, sich zeitlich zu ändern, sind offenbar von dieser Art und werden durch die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung beschrieben. Hierauf vor allem beruht deren große Bedeutung.

Zitat Ende

Hier wird definitiv gesagt, daß es sich bei dieser Betrachtung nicht um Lichtwellen oder Lichtteilchen handelt, sondern um nicht angeregte Teilchen (Atome oder Moleküle)! Wieso kann dann die Quantentheorie mehr leisten als das Modell von Bohr, das bisher nur das Spektrum des strahlenden H-Atoms befriedigend erklären kann, bei Atomen mit höherer Ordnungszahl aber versagt?[xi]

 

Dazu als Ergänzung:

Zitat[xii]:

Wellenmechanik. Eine abstrakte Funktion, genannt Wellenfunktion (Formelzeichen ψ), beschreibt die Zustände eines Teilchens oder eines physikalischen Systems, ψ hängt ab von Ort und Zeit, hat selbst zwar keine anschauliche Bedeutung, erlaubt jedoch Wahrscheinlichkeitsaussagen über den Ort und andere pysikalische Größen des beschriebenen Syszems. ψ geht ein in die Schrödinger-Gleichung, deren Lösungen das zeitliche Verhalten eines physikalischen Systems beschreiben, Die Quantisierung der physikalischen Größen ist automatisch Bestandteil der Lösungen. Die Schrödinger-Gleichung für ein einzelnes Teilchen unter dem Einfluß von Kräften lautet:

Zitat Ende

Wozu muß ich wissen, wo sich ein einzelnes nicht angeregtes Atom, Molekül oder gar Elektron befindet?

 

16.3. Teilchen in Potentialtöpfen

16.3.1 Stationäre Zustände

Zitat (S. 900):

Die j-Funktion (16.26) stellt eine ebene Welle mit ortsunabhängiger Amplitude dar. Über genügend lange Zeiten gemittelt, kann also das Teilchen überall mit gleicher Wahrscheinlichkeit sein. Von seinem Ort zu sprechen hat keinen Sinn, denn der Erwartungswert für den Ort existiert mathematisch gar nicht.

Zitat Ende.

Wenn hier von einer ebenen Welle gesprochen wird, dann sollte sich das “schwingende” Teilchen auf seinem Weg in einer bestimmten Richtung bewegen. Dass dieses Teilchen dann mathematisch auf keinem Ort anzufinden sei, ist Unfug, denn irgendwann muß es auf seinem Weg von hier nach da an jedem Ort der Wegstrecke anzufinden gewesen sein. Im übrigen wurde ja gerade befunden, dass die Teilchen nicht angeregt sind, also Signale von ihnen kaum zu beobachten sind.

Oder meint man, das Teilchen schwingt im Raum hin und her, rauf und runter, ohne Impulsänderung, ohne potentielle Energie (also in keinem Gravitationsfeld), jedoch in einer (x, y) Ebene? Wenn es so gemeint ist, dann sagt die Wellenfunktion auch nicht viel mehr aus! Nur noch die Frage: Warum wird nur x eingesetzt? Soll auch x (also die Richtung der Bewegung) hin und her gehen?

Die ganze Rechnerei ist mir suspekt.

 

Zitat (S. 901)

Wir sperren jetzt ein Teilchen mit Gewalt in einen endlichen Raumbereich ein, indem wir an dessen Rändern unendlich starke rücktreibende Kräfte aufbauen. …

 … Im Innern dieses Topfes soll zunächst, der Einfachheit halber, das Potential konstant sein, speziell, was ja nur eine Frage der Normierung ist, U = 0. Im Topfinnern gilt also wieder, wie im vorigen Beispiel,

              φ  = φ0*e±(i/h)*(2*m*W)0,5*x                                                 (16.27)

Beide Vorzeichen des Exponenten liefern unabhängige Lösungen. Die allgemeinste Lösung heißt daher

                          φ  = A*eikx + B*e-ikx                                                   (16.28)

oder reell ausgedrückt

                         φ  = A’ cos kx + B’ sin kx                                             (16.29)

Zitat Ende.

 

 Abb. 3

Die Abbildung 3 zeigt die rechnerische Auswertung der Gleichung (16.29), was auf S. 893 als Zustand mit scharfem Impuls geschildert wird. Das ist wirklich unanschaulich und das soll es wohl auch sein!

Hoffentlich hält sich das Teilchen an diese gedanklichen Verrenkungen und hoffentlich findet der Mathematiker den realen Topf mit unendlich hohem Rand. Wenn nämlich das Teilchen ein um den Kern rotierendes Elektron sein soll, herrscht eine Kraft F = k0*q*Q/r2 [N] zwischen Kern und Elektron. Das Potential wird dann weitgehend konstant sein. Der Topf hat dann aber keineswegs einen Rand. D. h. der Weg des Elektrons ist unbegrenzt, auf wechselnder Bahn stets um den Kern. Man kann dann keinesfalls davon sprehen, dass die Schwingung des Elektrons mit der einer eingespannten Saite verglichen werden kann.

 

Zitat (S. 902):

Der Zusammenhang zwischen W und λ bzw. p liefert die erlaubten Energiewerte

          Wn  = n2*h2/(8*m*a2).                                                                  (16.31)

Alle anderen Energien kommen wegen der Randbedingungen nicht als stationäre Energiewerte in Frage. Der Zustand mit der niedrigsten Energie

          W1  = h2/(8*m*a2).                                                                       (16.32)

Wird durch den Bogen einer Sinuswelle dargestellt.

Zitat Ende.

Das hat aber schon Bohr postuliert. Wenn man h = h*2*π  und  a = R setzt, erhält man für die Elektronenniveaus nach Bohr

           Wn  = n2*h2/(2*mE*Rn2)                      

und für die niedrigste Umlaufbahn

                        W1  = h2/(2*mE*R12) = 2,180*10-18  [J] ≡ 13,6  [eV]

Warum also die ganze komplizierte Rechnerei?

 

16.3.2 Der Tunneleffekt

Zitat:

Ein quantenmechanisches Teilchen verhält sich eigenartig, wenn man es in einen Potentialtopf sperrt: …

 … Das Teilchen läßt sich auf Dauer überhaupt nicht einsperren (außer durch unendlich hohe und unendlich dicke Mauern, die es in Wirklichkeit nicht gibt).

Zitat Ende.

Es kommt immer wieder auf das Bohrsche Atom-Modell heraus, wonach das um den Kern rotierende Elektron (bzw. Elektronen) auf ganz bestimmte Bahnen läuft. Beim H-Atom handelt es sich dabei um die niedrigste Bahn, also das niedrigste (n = 1) Energieniveau. Atome mit schwereren Kernen besitzen entsprechend mehr Elektronen, die nach Bohr auch auf Bahnen höherer Energieniveaus rotieren.

Wird dem H-Atom Energie zugeführt, dann wird das Elektron bis zu einer gewissen Energiesättigung zur nächsthöheren Umlaufbahn (n2 = n1+1) angehoben und bei weiterer Energiezufuhr eine Energieportion (h) emittieren, um gleichzeitig auf die ursprüngliche Bahn zurückzuspringen. Theoretisch ist eine derartige Anregung denkbar, dass das Elektron auf die Bahn n gehoben, also selbst emittiert wird und nicht nur Photonen.

Diese Betrachtungsweise wird jedoch hauptsächlich dadurch gestützt, weil vorausgesetzt wird, dass zwischen den Bahnen des Elektrons eine Drehimpulsdifferenz von Dn*h = (n+1 – n)*h besteht (Balmer-Serie sogar (n2+x – n2)).

Die Hilfskonstruktion vom Potentialtopf scheint ziemlich gequält an die Theorie der Quantenmechanik angepaßt zu sein. Wo gibt es so etwas? Das nicht angeregte Atom ist in seinem Verband ohne größere Reaktionen eingebettet. Die dazu gehörenden Elektronen sind ebenfalls unauffällig. Das ändert sich, wenn Energie (z. B. Wärme) zugeführt wird. Das Atom kann zunächst die überschüssige Energie durch Quantensprünge abführen, was sich durch Emission von Photonen äußert. Die Folge der Quantensprünge bestimmt den Takt (Frequenz) der Emission. Ein einzelnes Atom wird dabei sicherlich nach allen Richtungen (radial) Photonen aussenden, was aber in einem Verband vieler Atome nur noch schwer möglich ist. Hier geben die Atome der Trennschicht zum Raum die Photonen nach außen ab, also nur dann, wenn das Elektron den Quantensprung frei vollziehen kann, nämlich nicht nach innen zur Packung der Atome. Es ist also nicht erkennbar, wo die Situation von unüberbrückbaren Gräben oder unendlich hohen Wänden auftauchen sollte.

 

Zitat (S. 903):

Die quantenmechanische Behandlung muß von der Schrödinger-Gleichung ausgehen, und zwar streng genommen von der schwierigeren zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung, weil ja die zeitabhängige Lösung untersucht werden soll, bei der die Welllenfunktion im Topf allmählich abnimmt, weil sie nach rechts davonläuft. Das Wesentliche kommt aber auch bei der stationären Betrachtung heraus, wenn man sie richtig interpretiert.

Zitat Ende.

Wieso muss? Doch nur, wenn die Schrödinger-Gleichung das Problem trifft und sich die Fachwelt auf dieses Modell eingeschworen hat! Aber was, wenn die ganze Theorie eine überspannte Masche eines genialen Mathematikers ist?

Das Photon wird vom Atom emittiert und eilt in Lichtgeschwindigkeit radial durch den anschließenden Raum. Dabei nimmt die Energie, weil das Photon (nach rechts(?)) davonläuft keineswegs ab, sondern das Teilchen gibt die Energie ab, wenn es auf sein Ziel (Sensor) trifft.

 

16.4 Atome und Moleküle

Zitat (S. 905):

Die Quantenmechanik hat in den letzten Jahrzehnten alle wesentlichen Eigenschaften der Atome und Moleküle erklären können und damit u. a. die Chemie vollständig in sich eingemeindet. Allerdings sind die Rechnungen dabei so umfangreich, dass man praktisch doch meist mit den alten anschaulichen Vorstellungen begnügt – wenigstens mit dem Teil dieser Vorstellungen, die im strengen Licht der Quantenmechanik standgehalten haben.

Zitat Ende.

Dieses Lehrbuch jedenfalls erklärt kaum etwas. Wozu dann diese skurrile Theorie, die man auch mit alten Vorstellungen vernünftig erklären kann.

 

16.4.1 Das Wasserstoffatom

Zitat:

Das einzige atomare System, das sich “geschlossen”, d. h. ohne Näherungen, behandeln läßt, ist das Wasserstoffatom (oder etwas allgemeiner ein einzelnes Elektron im Feld einer positiven Punktladung, d. h. ein wasserstoffähnliches System). Alles, was darüber hinausgeht, ist durch rafffinierte Näherungen gewonnen worden.

Zitat Ende.

Das hätte ich als Seiteneinsteiger niemals sagen, geschweige veröffentlichen dürfen.

 

Zitat (S, 906):

Das Potential einer positiven Punktladung Z*e (sagen wir kurz: des Kerns) stellt für ein Elektron einen Trichter dar, der sich nach unten zu immer mehr verjüngt:

              U  = - Z*e2/(4*π*ε0*r)                                                        (16.39)

Ein tief innen in diesem Trichter sitzendes Elektron wird also, entsprechend einem Elektron im engen Kasten, sehr weit getrennte diskrete Energiezustände haben; sitzt das Elektron nur sehr flach unterhalb W = 0, so  glaubt es sich in einem weiten Kasten, und seine Energiezustände liegen enger. Man erwartet daher qualitativ genau die vom Bohr-Modell  vorausgesagte Staffelung der Energiezustände, die ja auch der Wirklichkeit entspricht (Abb. 16.3)

Zitat Ende.

Eigentlich hätte den Schrödinger-Schülern ein Trichter aufgehen müssen.

        •  Bisher hat niemand Plancks Hypothese bezweifelt, daß nämlich Energie nur in definierten Portionen – den Quanten – ausgetauscht werden.[xiii]

        •  Einstein konnte das mit seinern Untersuchungen zum Photoeffekt bestätigen.

        •  Wenn also Elektronen zusätzliche Energie nur bis zu diesem bewußten Quantum h [Js] (Drehimpuls!) aufnehmen und dann auch nur in dieser Portion spontan abgeben können, dann muß sich auch der Drehimpuls der beteiligten Elektronen entsprechend ändern.

        •  Der Drehimpuls L = J*ω = me*r*v = h impliziert, daß das Elektron auf seiner untersten Stufe, wo das Atom keine Photonen emittiert, um den Kern im Abstand von r1 mit der Geschwindigkeit v1 rotiert.

        •  Wird dem Elektron die zusätzliche Energie h zugeführt, muß es auf eine höhere Stufe gehoben werden. L2me*r2*v2 = h*2.

        •  Da das Elektron nicht in der Lage ist, weitere zusätzliche Energie zu speichern, “kocht” es den Betrag h spontan unter Emission eines Photons ab und springt selbst wieder auf seine ursprüngliche Bahn zurück.

Das Wasserstoffatom ist für Kontrolle dieser Auffassung einfach zu behandeln. Die Kraft zwischen H-Kern und dem einzigen Elektron ist

                        FE  = k0 * q * Q /r2  [N]

Die Schwerkraft der Teilchen kann vernachlässigt werden da FE ≈ 2,3*1039 * Fg. Die Fliehkraft zF wird dagegen durch die Masse des rotierenden Teilchens, seinem Abstand vom Schwerpunkt des Rotationssystems und der Winkelgeschwindigkeit bestimmt.

                    L = h  = J * ωme * re2 * ω  [Js] = 1,05457267*10-34  [Js]

                         zF  =  me * re * ω2 = me * v2/ re  [N]

Aus FE = zF und q = Q = e:

           k0 * e2 / re2  = me * re * h2 /(me * re2)2

                         re  = h2 / (me*e2*k0)  [m] ≈ 5,29*10-11  [m]

Hier macht Bohr aber einen unbedeutenden Fehler, indem er  vernachlässigt, dass auch das Proton eine Masse hat und mit einem entsprechenden Abstand um den gemeinsamen Schwerpunkt rotiert (möglicherweise beide sogar auf einer elliptischen Bahn).

Folglich hätte er rechnen müssen:

Mit                    rp  = me * re / mp ≈ 2,9*10-14  [m]

                    L = h  = J * ω = (Q + mp * rp2 + me * re2)* ω ≈ 1,05486*10-34  [Js]

Bei dieser Rechnung wurden noch die Trägheitsmomente Q ≈ 2/5* R*m2 der jeweiligen Teilchen mit berücksichtigt. Dabei zeigt sich, daß DL zwar weiter konstant über n, jedoch geringfügig höher als der von Bohr errechnete Wert ist.

          me*ren*ωn2  = k0*e2/(ren2*(1+me/mp)2

                       ωn2  = k0*e2/(ren3* me * (1+me/mp)2

                         Ln  = Jn * ωn                                   ΔL  = Ln+1 - Ln = konstant

Im Kapitel 12.3.2 wurde schon bemerkt, dass das um der H-Kern und das um ihn rotierende (kreis- oder ellipsenförmig) Elektron sich elektrisch neutralisieren, also keinerlei elektromagnetische Strahlen emittieren. Wird diesem Atom Energie (Wärme) zugeführt, kann diese nur begrenzt vom Elektron aufgenommen werden, wobei es auf die nächst höhere Umlaufbahn springt. Bei Überschreiten der Aufnahmekapazität emittiert das Elektron spontan den Energiebetrag h (bzw. h)und springt gleichzeitig wieder in die ursprüngliche Umlaufbahn zurück. Da dieser Vorgang, je höher die Energiezufuhr, umso schneller wiederholt wird, empfindet der Empfänger das als Frequenz einer Welle. Selbstverständlich kann die Energieabgabe nur in Richtung niederer Entropie, das heißt in die kältere Umgebung, verlaufen, vorzugsweise dann, wenn das Elektron sich in der Nähe der Grenzschicht zur Umgebung befindet. Hierbei können natürlich auch Unregelmäßigkeiten auftreten, die aber nie das Prinzip tangieren können und das nie aus dem Auge verloren gehen darf.

 


[i]      Vergl. J. Orear, Kap. 25

[ii]     Duden Rechnen und Mathematik, 5. Aufl. 1994

[iii]    Man kann schon feststellen, ob und wie schnell und eventuell wohin ein Auto bestimmter Größe und Stärke fährt, aber vorauszusagen, ob und wann es einen Unfall produziert und wie der ausgeht, ist kaum möglich.

[iv]     s. <www.dinglinger-drg.de/eine lanze für niels bohr.html>

[v]      Stöcker, S. 615

[vi]     s. a. J. Orear, Physik, S. 529

[vii]    Für Planck ein probates Hilfsmittel, da nach Bohr der Drehimpuls von Umlaufbahn zu Umlaufbahn konstant um den Wert h zu- oder abnimmt.

[viii]   Z. B. Sonnenlicht, also kein Licht von Leuchtkörpern, die mit Wechselstrom betrieben werden.

[ix]     Oder man ist sich noch immer nicht sicher, ob der Impuls des rotierenden Elektrons, oder der von Planck gemeinte Impuls des schnell durch den Raum eilenden Teilchens sein soll.

[x]      Stöcker, Taschenb. d. Physik, 2. Auflage, S. 620

[xi]     s. s. <www.dinglinger-drg.de/eine lanze für niels bohr.html>

[xii]    H. Breuer, dtv-Atlas, 4. Aufl. 1996, S. 359

[xiii]   Stöcker, S. 618


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f    aktualisiert am: 21.03.2016  copyright: G. Dinglinger. 41564 Kaarst; Mail: gdinglinger@gmx.de